意思是只要我找到一組連續四項和為100，那大概答案就準備要解出來了!!
根據a_3=9,a_10=42,a_17=23, 我們可以推論a_2=42,a_1=23,
所以a_4=100-9-42-23=26，所以以下數列為我們推論的數列....
(23,42,9,26),(23,42,9,26),(23,42,9,26).............................
你會發現任意一組連續4項的和的確為100，所以a_2012=26 ==>ANS
2016年10月30日 星期日
中一中101年數學成就
意思是只要我找到一組連續四項和為100，那大概答案就準備要解出來了!!
根據a_3=9,a_10=42,a_17=23, 我們可以推論a_2=42,a_1=23,
所以a_4=100-9-42-23=26，所以以下數列為我們推論的數列....
(23,42,9,26),(23,42,9,26),(23,42,9,26).............................
你會發現任意一組連續4項的和的確為100，所以a_2012=26 ==>ANS
2016年10月27日 星期四
中一中101資優數學實作
解:) 這題如何解?? 注意通常資優班題目，題目都很簡要，他是要你把隱形條件找出，
我之前已經講過好幾遍了!!
那這題如何下手呢?? 假設所有質數都是奇數，那與題意不合，因為4個奇數經過
加減後不可能會變成奇數，很顯然地，d=2 ，才符題意。
接下來，利用限制條件，將a,b,c找出。
首先，因為a^2-b^2+c^2=1753>(3b)^2-b^2+c^2 => 1753> 8b^2+c^2 ==> 1753>8*(2c)^2+c^2
===> 1753>33c^2 ，所以得到 c<=7 ，所以c=5 或c=7
(1) c=7 ，則a^2-b^2=1753-49=1702 >8b^2 ==>b<=13 ，但b>2c ，不合，所以在c=7時，無解
(2)c=5，則a^2-b^2=1753-25=1728>8b^2 ===> b<=13 ，所以b=11 或b=13
b=13代入原式得到 a^2-169=1728 ，所以得到a^2=1897，但1897不是完全平方數 (不合)
b=11 代入原式，得到a^2-121=1728，得到a^2=1849，所以a=43
所以a^2+b^2+c^2+d^2=1749+2(b^2+d^2)=1749+2*(121+4)=1999 =====>ANS
2016年10月11日 星期二
中一中102資優實作
解:)這一題其實很漂亮，但我計算結果卻發現無解，如有算錯可以跟我講一下
看到這題，以為會很難，其實仔細觀察還是有規律性，我們將三個`式子全部加起來
得到 (x+y+z)^2=0 得到x+y+z=0 --------(1)
以x=-(y+z)代入各式得到
(3y+z)(y+5z)=6 -------(2)
(y-2z)(5y+4z)=10 -------(3)
(2y+3z)(z-4y)=-16 ------(4)
先不要急著去解 你可以發現到(2)(3)(4)式中，左邊3y+z=(y-2z)+(2y+3z)
同樣地，y+5z=(5y+4z)+(z-4y)
所以我們可以假設 (a+b)(p+q)=6
a p=10 ---------(*)
bq=-16 ----------(**)
所以三式加起來得到 2ap+2bq+bp+aq=0 => p(2a+b)=-q(a+2b) ---------(5)
以(*)對(**)產生比值為 a(a+2b)/b(2a+b)=5/8 得到 (4a+5b)(2a-b)=0
所以2a=b 代入發現z=0 (不合)，若以4a=-5b 代入得到 z=-2y----(6)
所以 x=y 代入各式得到y不是實數 ，因此，本題無解
-------------------------------------------------------------------------------
抱歉，前幾天解太快，看錯了! 其實在2a=b時有解，代入得到z=0 ，所以x=-y
再代入原式，得到y=+-(2)^0.5 而x=-+(0.5)^0.5
中一中103資優
解:) 這題目一看還真不好下手，當然有更快方法，但如果只是用那更快方法，來解這問題
我覺得失去本意，資優不是靠記憶來得到，而是靠領悟得來，不曉得你贊不贊成我的
見解??
以下為解答過程:
首先看該方程式是暗示我們要把它化為平方和，然後讓平方和內所有的式子為0，
則x,y,z就解出來(這一題我也解了好幾次，才解出)。
有沒注意到並沒有y的項次，但卻有y^2的項次，這可能是線索，
另一個線索是並沒有xz的項次，暗示x及z這兩個未知數並沒有形成平方。
因此，嘗試以下
(x-y+a)^2+(y+z+b)^2+z^2..........=0
請注意，因為並沒有形成y的項次，因此a=b，又因為有-4x項次，所以a=-2
故得到b=-2 代入原式看看，並得到下列:
(x^2+y^2+z^2-2xy-4x+4y)+(y^2+z^2+4-4y-4z+2yz)+(z^2-4z+4)=0 -BINGO
剛好形成完全平方式的和
所以是(x-y-2)^2+(y+z-2)^2+(z-2)^2=0
所以得到 (x,y,z)=(2,0,2)
2016年10月10日 星期一
中一中102資優鑑定實作
這種題目就是要將一些隱形條件找出，就可證完。
首先有一個完全平方數(x-y)^2，及兩個5的倍數! BINGO!!
首先將該式移項得到 (x-y)^2=5(x+y)-25 =5m m屬於N
有沒有注意到x-y必須是5的倍數，因此假設x-y=5k ------(1) k屬於Z
25k^2=5(x+y)-25 => 5k^2=x+y-5 ，以式(1) x=y+5k代入，得到
5k^2=y+5k+y-5 => 2y=5+5k^2-5k =5+5k*(k-1) ，
我們得到左邊是偶數 ，右邊卻是奇數，因此矛盾，所以沒有整數解。
Q.E.D.
中一中99資優鑑定(2)
不應該是用補的或重覆的)
依題意，246的尾數是6，不管幾次方，尾數永遠是6
22226081的尾數是1，不管幾次方，尾數是1
543的尾數是3，1次方得到尾數3，2次方則為9，3次方為7，四次方為1，五次方
又回到尾數3，所以週期是4，題目是給定456次方，456剛好被4整除。
所以得到該543的456次方尾數為1。
根據上面，得到尾數為6+1+1=8 。
任一平方數，其尾數，可以是1，4，9，6，5，但絕不可能是8
所以a不可能是完全平方數!!
Q.E.D.
2016年10月9日 星期日
建中99資優班鑑(2)
解: 這題目也是在探討數的奇偶性，以節省運算。
令a^2+132a=m^2 m為一正整數。
則(m-a)(m+a)=132a
由a及m的奇偶性來判斷。
若a為even,則 m為even ，我們得到(m-a)及(m+a)皆為even
，若a為odd，則m亦為odd，我們得到(m-a)及(m+a)皆為even
由下表，你逐漸比對，會發現
 |
| 只有當m+a=3a 及 m-a=44 才符合。因此，我們得到a=44 是最大值。 |
建中101年資優鑑定
某一數字而已
a_1=17
所以 a_2=(1+7)^2+1=65
所以a_3=(6+5)^2+1=122
所以a-4= (1+2+2)^2+1=26
所以a_5=(2+6)^2+1=65
所以a_6=(6+5)^2+1=122........
有沒注意到，在a_5已經出現規律性了!! 所以a_2=a_5=a_8......=a_2012 (因為每3個一週期)
所以a_2012=65 ----->(ANS)
建中99年資優班鑑定
我曾經在高中數學競試比賽中，只為了證明某一數是9的倍數，前前後後假設了共約9個未知數，後來一一化簡，反而更清晰易懂，所以假設很多的未知數未必是壞事!
這一題，關鍵在於質數這句話，假設三個質數都是奇數好了! 你會發現上述式子不成立!!
這表示何意呢?? 假設錯誤，但不是質數都是奇數嗎? 很妙的，2是質數，但是是(偶數)!
所以該方程式，一定有一個2在裡面，BINGO!!! 這樣幾乎就解出來了!
以a=2 代入該式子， b+c+2bc=147 ，再利用兩邊相乘2並加1，我們得到
2b(2c+1) +(2c+1)=295 => (2c+1)(2b+1)= 295= 5*59 ，所以c=2，b=29
所以 a=2,b=29,c=2 所以 |a-b|+|b-c|+c-a|=54 --------(ANS)
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