中一中101年數學成就

解:)這一題，考的是"任意連續"四項和皆為100，請注意"任意連續"，就是解題關鍵。
       意思是只要我找到一組連續四項和為100，那大概答案就準備要解出來了!!

      根據a_3=9,a_10=42,a_17=23, 我們可以推論a_2=42,a_1=23,

       所以a_4=100-9-42-23=26，所以以下數列為我們推論的數列....

         (23,42,9,26),(23,42,9,26),(23,42,9,26).............................

         你會發現任意一組連續4項的和的確為100，所以a_2012=26 ==>ANS

中一中101資優數學實作

解:) 這題如何解?? 注意通常資優班題目，題目都很簡要，他是要你把隱形條件找出，
       我之前已經講過好幾遍了!!

      那這題如何下手呢?? 假設所有質數都是奇數，那與題意不合，因為4個奇數經過
      加減後不可能會變成奇數，很顯然地，d=2 ，才符題意。

      接下來，利用限制條件，將a,b,c找出。

     首先，因為a^2-b^2+c^2=1753>(3b)^2-b^2+c^2  => 1753> 8b^2+c^2 ==> 1753>8*(2c)^2+c^2

     ===> 1753>33c^2 ，所以得到 c<=7 ，所以c=5 或c=7

(1) c=7  ，則a^2-b^2=1753-49=1702 >8b^2 ==>b<=13 ，但b>2c ，不合，所以在c=7時，無解

(2)c=5，則a^2-b^2=1753-25=1728>8b^2 ===> b<=13 ，所以b=11 或b=13

    b=13代入原式得到 a^2-169=1728 ，所以得到a^2=1897，但1897不是完全平方數 (不合)

    b=11 代入原式，得到a^2-121=1728，得到a^2=1849，所以a=43

   所以a^2+b^2+c^2+d^2=1749+2(b^2+d^2)=1749+2*(121+4)=1999 =====>ANS

建中100資優

解:) 這一題也是運用巧力，千萬不要一直做平方，這樣會產生增根，且不好算!

中一中102資優實作

解:)這一題其實很漂亮，但我計算結果卻發現無解，如有算錯可以跟我講一下

       看到這題，以為會很難，其實仔細觀察還是有規律性，我們將三個`式子全部加起來

      得到 (x+y+z)^2=0 得到x+y+z=0        --------(1)

      以x=-(y+z)代入各式得到

        (3y+z)(y+5z)=6   -------(2)  
        (y-2z)(5y+4z)=10 -------(3)
        (2y+3z)(z-4y)=-16 ------(4)


        先不要急著去解   你可以發現到(2)(3)(4)式中，左邊3y+z=(y-2z)+(2y+3z)
        同樣地，y+5z=(5y+4z)+(z-4y)

      所以我們可以假設   (a+b)(p+q)=6
                                            a p=10   ---------(*)
                                            bq=-16   ----------(**)

        所以三式加起來得到   2ap+2bq+bp+aq=0  => p(2a+b)=-q(a+2b)   ---------(5)

           以(*)對(**)產生比值為 a(a+2b)/b(2a+b)=5/8   得到 (4a+5b)(2a-b)=0

           所以2a=b 代入發現z=0 (不合)，若以4a=-5b 代入得到 z=-2y----(6)

          所以 x=y    代入各式得到y不是實數 ，因此，本題無解

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  抱歉，前幾天解太快，看錯了! 其實在2a=b時有解，代入得到z=0 ，所以x=-y

 再代入原式，得到y=+-(2)^0.5  而x=-+(0.5)^0.5  



   

       




 

中一中103資優

    解:) 這題目一看還真不好下手，當然有更快方法，但如果只是用那更快方法，來解這問題
            我覺得失去本意，資優不是靠記憶來得到，而是靠領悟得來，不曉得你贊不贊成我的
           見解??

            以下為解答過程:

                首先看該方程式是暗示我們要把它化為平方和，然後讓平方和內所有的式子為0，
           則x,y,z就解出來(這一題我也解了好幾次，才解出)。

            有沒注意到並沒有y的項次，但卻有y^2的項次，這可能是線索，
            另一個線索是並沒有xz的項次，暗示x及z這兩個未知數並沒有形成平方。

            因此，嘗試以下

                  (x-y+a)^2+(y+z+b)^2+z^2..........=0

           請注意，因為並沒有形成y的項次，因此a=b，又因為有-4x項次，所以a=-2
            故得到b=-2 代入原式看看，並得到下列:

                (x^2+y^2+z^2-2xy-4x+4y)+(y^2+z^2+4-4y-4z+2yz)+(z^2-4z+4)=0  -BINGO

              剛好形成完全平方式的和

              所以是(x-y-2)^2+(y+z-2)^2+(z-2)^2=0

               所以得到 (x,y,z)=(2,0,2)    

中一中101資優

    解:) 這題目其實與整數的奇偶性比較相關，假設a及b為其餘兩邊長

           則a^2+b^2=2009

           現探討a及b的奇偶性，首先一看到2009為奇數，所以a與b不可能都是奇數
            也不可能都是偶數，假設a=2k+1 ，b=2m

            則(2k+1)^2+4m^2=2009  得到 4k(k+1)+4m^2=2008 => k(k+1)+m^2=502

             所以得到m一定是偶數。根據下表，

           

所以只有當m=14時，才會產生連續兩整數相乘的k(k+1)=306

所以，b=28，a=35 ==>ANS

               

中一中100資優

解:) 這種題目要求的都是巧力，其實資優班的題目大部份都是這樣。

        觀察到該式化為一般式得到下列: